표본변동(sample variation)의 구성요소(components of variance)
| 표본변동의 구성요소 | 제곱합 표기 | 다른 표기 | 영문 | 개념 |
|---|---|---|---|---|
| $X$변수 편차제곱합 | $SS_{X}$ $SS_{X}$는 내적(inner product) | $SSX$ | Sum of Squares for X | $X$변수 편차의 제곱의 합 |
| $Y$변수 편차제곱합 | $SS_{Y}$ $SS_{Y}$는 내적(inner product) | $SSY$ | Sum of Squares for Y | $Y$변수 편차의 제곱의 합 |
| 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차곱합 | $SP_{XY}$ $SP_{XY}$는 외적(cross product) | $SPXY$ | Sum of the Products of Deviations of X and Y variables | 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차의 곱의 합 |
| 총제곱합 | $SS_{T}$ $SS_{T}=SS_{Tr}+SS_{E}$ $SS){T}=SS_{Reg}+SS_{Res}$ | $SST$ | Sum of Squares Total | 표본내 개체 편차의 제곱의 합 |
| 집단간변동 | $SS_{B}$ | $SSB$ | Sum of Squares Between groups | 집단성분의 제곱의 합: 처리성분의 제곱의 합 |
| 집단내변동 | $SS_{W}$ | $SSW$ | Sum of Squares Within groups | 집단의 평균을 기준으로한 편차의 제곱의 합: 오차성분의 제곱의 합 |
| 처리제곱합 | $SS_{Tr}$ | $SSTr$ | Sum of Squares Treatment | 처리성분의 제곱의 합 |
| 오차제곱합 | $SS_{E}$ | $SSE$ | Sum of Squares Error | 오차성분의 제곱의 합 |
| 회귀제곱합 | $SS_{Reg}$ | $SSR$ | Sum of Squares Regression | 회귀성분의 제곱의 합 |
| 잔차제곱합 | $SS_{Res}$ | $SSE$ | Sum of Squares Residual | 잔차성분의 제곱의 합 |
표본자유도(sample degree of freedom)의 구성요소(components of variance)
| 표본자유도 구성요소 | 표본자유도 표기 | 표본자유도 표본크기(n)=데이터포인트 수 | 영문 | 개념 |
|---|---|---|---|---|
| $X$변수 자유도 | $df_{X}$ | $n-1$ | degree of freedom for X | $X$변수 편차의 제곱의 합의 개체의 자유도 |
| $Y$변수 자유도 | $df_{Y}$ | $n-1$ | degree of freedom for Y | $Y$변수 편차의 제곱의 합의 개체의 자유도 |
| 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 자유도 | $df_{XY}$ | $n-1$ | degree of freedom for X and Y variables | 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차곱의 합의 개체의 자유도 |
| 총자유도 | $df_{T}$ | $n-1$ | degree of freedom of Total | 표본내 개체 편차의 제곱의 합의 집단과 개체의 자유도 |
| 집단간 자유도 (표본내 집단의 자유도) | $df_{B}$ | $k-1$ 여기서, $k$는 집단수 | degree of freedom of Between-groups | 집단평균(집단성분)의 제곱의 합: 처리성분의 제곱의 합의 집단의 자유도 |
| 집단내 자유도 (표본내 개체의 자유도) | $df_{W}$ | $n-k$ 여기서, $n$은 표본크기 $k$는 집단수 | degree of freedom of Within-groups | 집단의 평균을 기준으로한 편차의 제곱의 합: 오차성분의 제곱의 합의 개체의 자유도 |
| 처리 자유도 | $df_{Tr}$ | $a-1$ 여기서, $a$는 처리의 개수 | degree of freedom of Treatment | 처리성분의 제곱의 합의 집단의 자유도 |
| 오차 자유도 | $df_{E}$ | $n-a$ 여기서, $n$은 표본크기 $a$는 처리의 개수 | degree of freedom of Error | 오차성분의 제곱의 합의 개체의 자유도 |
| 회귀 자유도 | $df_{Reg}$ | $k-1$ 여기서, $k$는 집단수: $k=2$ | degree of freedom of Regression | 회귀성분의 제곱의 합의 집단의 자유도 |
| 잔차 자유도 | $df_{Res}$ | $n-k$ 여기서, $n$은 표본크기 $k$는 집단수: $k=2$ | degree of freedom of Residual | 잔차성분의 제곱의 합의 개체의 자유도 |
표본분산(sample variance)의 구성요소(components of variance)
| 표본분산 구성요소 | 제곱평균 표기 | 다른 표기 | 분산 표기 | 영문 | 개념 |
|---|---|---|---|---|---|
| $X$변수 편차제곱평균 | $MS_{X}$ | $MSX$ | $s_{X}^2$ | Mean Squared Deviation of X | $X$변수 편차의 제곱의 평균: $X$변수 편차제곱합을 자유도로 나눈 값 |
| $Y$변수 편차제곱평균 | $MS_{Y}$ | $MSY$ | $s_{Y}^2$ | Mean Squared Deviation of Y | $Y$변수 편차의 제곱의 평균: $Y$변수 편차제곱합을 자유도로 나눈 값 |
| 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차곱의 평균 | $MP_{XY}$ | $\text{Cov}[X, Y]$ | $s_{XY}$ | Mean of the Product of Deviations of X and Y variables Covariance of X and Y variables |
$X$와 $Y$의 편차곱의 평균: $X$변수와 $Y$변수의 편차곱의 합을 자유도로 나눈 값 $s^2_{X – Y} \leq s^2_{X} + s^2_{Y} + 2 \cdot |s_{XY}|$ $ r=\dfrac{s_{XY}}{s_Xs_Y}$ |
| 총제곱평균 | $MS_{T}$ | $MST$ | $s_{T}^2$ | Mean Squared Total | 표본내 개체 편차의 제곱의 평균: 총제곱합을 표본의 자유도로 나눈 값 |
| 집단간분산 | $MS_{B}$ | $MSB$ | $s_{B}^2$ | Mean Squared Between-groups | 집단의 편차의 제곱의 평균: 표본내 집단평균성분의 제곱합을 표본내 집단의 자유도로 나눈 값 |
| 집단내분산 | $MS_{W}$ | $MSW$ | $s_{W}^2$ | Mean Squared Within-groups | 집단내 개체의 편차의 제곱의 평균: 집단내 개체의 편차제곱의 합을 표본내 개체의 자유도로 나눈 값 |
| 처리제곱평균 | $MS_{Tr}$ | $MSTr$ | $s_{Tr}^2$ | Mean Square for Treatment | 처리성분의 제곱의 평균: 처리성분 제곱의 합을 자유도로 나눈 값 |
| 오차제곱평균 | $MS_{E}$ | $MSE$ | $s_{E}^2$ | Mean Squared Error | 오차성분의 제곱의 평균: 오차성분 제곱의 합을 자유도로 나눈 값 |
| 회귀제곱평균 | $MS_{Reg}$ | $MSR$ | $s_{Reg}^2$ | Mean Squared Regression | 회귀성분의 제곱의 평균: 회귀성분 제곱의 합을 자유도로 나눈 값 |
| 잔차제곱평균 | $MS_{Res}$ | $MSE$ | $s_{Res}^2$ | Mean Squared Residuals |
잔차성분의 제곱의 평균: 잔차성분 제곱의 합을 자유도로 나눈 값 $s_{Reg}^2 \leq s_{Res}^2$ |
표본변동과 표본자유도와 표본분산의 구성요소의 관계식
| 표본변동의 구성요소 | 제곱합 표기 | 표본자유도의 구성요소 | 표본자유도 표기 | 표본자유도 표본크기(n)=데이터포인트 수 | 표본분산의 구성요소 | 제곱평균 표기 | 표본분산 표기 | 관계식 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $X$변수 편차제곱합 | $SS_{X}$ | $X$변수 자유도 | $df_{X}$ | $n-1$ | $X$변수 편차제곱평균 | $MS_{X}$ | $s_{X}^2$ | $MS_{X}=\dfrac{SS_{X}}{df_{X}}$ $SS_{X}=(n-1) \cdot s_{X}^2$ |
| $Y$변수 편차제곱합 | $SS_{Y}$ | $Y$변수 자유도 | $df_{Y}$ | $n-1$ | $Y$변수 편차제곱평균 | $MS_{Y}$ | $s_{Y}^2$ | $MS_{Y}=\dfrac{SS_{Y}}{df_{Y}}$ $SS_{Y}=(n-1) \cdot s_{Y}^2$ |
| 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차곱합 | $SP_{XY}$ | 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 자유도 | $df_{XY}$ | $n-1$ | 대응된 $X$변수와 $Y$변수의 편차곱의 평균 | $MP_{XY}$ | $s_{XY}$ | $MP_{X}=\dfrac{SP_{X}}{df_{XY}}$ $SP_{XY}=(n-1) \cdot s_{XY}^2$ |
| 총제곱합 | $SS_{T}$ | 총자유도 | $df_{T}$ | $n-1$ | 총제곱평균 | $MS_{T}$ | $s_{T}^2$ | $MS_{T}=\dfrac{SS_{T}}{df_{T}}$ $SS_{T}=(n-1) \cdot s_{T}^2$ |
| 집단간변동 | $SS_{B}$ | 집단간 자유도 (표본내 집단의 자유도) | $df_{B}$ | $k-1$ 여기서, $k$는 집단수 | 집단간분산 | $MS_{B}$ | $s_{B}^2$ | $MS_{B}=\dfrac{SS_{B}}{df_{B}}$ $SS_{B}=(k-1) \cdot s_{B}^2$ |
| 집단내변동 | $SS_{W}$ | 집단내 자유도 (표본내 개체의 자유도) | $df_{W}$ | $n-k$ 여기서, $n$은 표본크기 $k$는 집단수 | 집단내분산 | $MS_{W}$ | $s_{W}^2$ | $MS_{W}=\dfrac{SS_{W}}{df_{W}}$ $SS_{W}=(n-k) \cdot s_{W}^2$ |
| 처리제곱합 | $SS_{Tr}$ | 처리 자유도 | $df_{Tr}$ | $a-1$ 여기서, $a$는 처리의 개수 | 처리제곱평균 | $MS_{Tr}$ | $s_{Tr}^2$ | $MS_{Tr}=\dfrac{SS_{Tr}}{df_{Tr}}$ $SS_{Tr}=(a-1) \cdot s_{Tr}^2$ |
| 오차제곱합 | $SS_{E}$ | 오차 자유도 | $df_{E}$ | $n-a$ 여기서, $n$은 표본크기 $a$는 처리의 개수 | 오차제곱평균 | $MS_{E}$ | $s_{E}^2$ | $MS_{E}=\dfrac{SS_{E}}{df_{E}}$ $SS_{E}=(n-a) \cdot s_{E}^2$ |
| 회귀제곱합 | $SS_{Reg}$ | 회귀 자유도 | $df_{Reg}$ | $k-1$ 여기서, $k=2$ | 회귀제곱평균 | $MS_{Reg}$ | $s_{Reg}^2$ | $MS_{Reg}=\dfrac{SS_{Reg}}{df_{Reg}}$ $SS_{Reg}=(2-1) \cdot s_{Reg}^2$ |
| 잔차제곱합 | $SS_{Res}$ | 잔차 자유도 | $df_{Res}$ | $n-k$ 여기서, $n$은 표본크기 $k=2$ | 잔차제곱평균 | $MS_{Res}$ | $s_{Res}^2$ | $MS_{Res}=\dfrac{SS_{Res}}{df_{Res}}$ $SS_{Res}=(n-2) \cdot s_{Res}^2$ |