표본의 관측빈도수와 기대빈도수로 표준정규분포를 나타내는 확률변수인 $Z$와 카이제곱분포를 나타내는 확률변수인 카이제곱($\chi^2$)을 생성합니다. 두 범주형 확률변수의 변수값의 개수(카테고리수, 범주수)를 각각 $r$과 $c$라고 할 때, 전체집단내에는 $r \times c$개의 집단(카테고리, 범주)이 생성됩니다. 표본크기가 $n$인 표본을 전체집단에서 추출할 때, $r \times c$개의 범주(집단)로 $n$개의 개체(object)가 나누어집니다(categorizing). 여기서, 각 범주(집단)에 속하는 개체의 빈도수를 관측한 빈도수를 표본크기로 나눈 값은 그 범주의 표본확률질량을 나타냅니다. 관측빈도수를 기대빈도수로 나누면 표본확률질량의 추정값을 구할 수 있습니다. 표본확률질량은 모확률질량의 점추정량이라고 할 수 있습니다.

각 범주에서의 표본확률질량은 모확률질량을 평균으로 하는 표준정규분포를 나타냅니다. 표본확률질량을 구할 때 관측빈도수의 기준으로 표본의 기대빈도수를 사용하면 각 범주의 표본확률질량의 합은 카이제곱($\chi^2)분포를 나타냅니다. 관측빈도수를 표집하면 기대빈도수를 평균과 분산으로 하는 정규분포를 나타냅니다. 

$$O_{ij} ∼ N(E_{ij}, E_{ij})$$

이 정규분포를 표준정규분포로 변환하면 다음과 같습니다.

$$\dfrac{O_{ij} – E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} =Z_{ij}∼ N(0, 1)$$

각 집단의 표준정규분포를 가지는 $Z_{ij}$를 모두 더한 확률변수는  $\chi^2$이고 $\chi^2$분포를 나타냅니다.

$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}=\chi^2 ∼ \chi^2_{(r-1)(c-1)}$$

주의할 점은 유도된 새로운 확률변수, 카이제곱($\chi^2$)의 자유도는 $r\times c$가 아니라 $(r-1)\times (c-1)$이라는 점입니다. 두 범주형 확률변수가 완전 독립이면 표본 범주의 자유도는 $(r × c-1)$가 됩니다. 하지만 기대빈도수를 구할 때 두 변수 범주의 자유도인 $(r-1)$과 $(c-1)$가 기대빈도수를 구하는데 사용됩니다. 따라서, 표본 관측빈도 자유도는 $(r-1)(c-1)$이라고 할 수 있습니다. 자유도의 등식은 다음과 같습니다.

$$(r \times c-1)=(r-1)+(c-1)+(r-1)(c-1)$$

여기서, (표본 범주의 자유도)=(A 범주의 자유도)+(B 범주의 자유도)+(표본 관측빈도 범주의 자유도)

$r$과 $c$는 두 범주형 확률변수값의 개수(범주수, 카테고리수)

따라서, 표본의 기대빈도를 기준으로 하는 관측빈도 범주의 자유도는 다음과 같습니다.

$$(r-1)(c-1)=(r \times c-1)-(r-1)-(c-1)$$

여기서, (표본 관측빈도 범주의 자유도)=(표본 범주의 자유도)-(A 범주의 자유도)-(B 범주의 자유도)

$r$과 $c$는 두 범주형 확률변수값의 개수(범주수, 카테고리수)