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데이터분석
모수추정, 모수비교
표본종류: 대응표본
확률변수가정: 등분산성, 독립성, 정규성
새확률변수: 각 Cell의 표본확률차이의 합
표집분포: 표본카이제곱 중심극한정리
검정확률분포: 카이제곱분포
검정통계량: 표본카이제곱과 표준오차의 비
귀무가설: 유전자형 별 마블링스코어의 확률분포는 같다.
가설검정: 유의확률과 유의수준을 비교
정규분포
$$f(x \, ; \mu_X, \sigma_X^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_X} \mathrm{exp} \left(-\dfrac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)$$
여기서, $x$는 정규분포를 나타내는 확률변수, $X$의 값(변량)
$\mu_X$는 확률변수, $X$의 기대값: 집단의 모평균
$\sigma_X^2$는 확률변수, $X$의 모분산: 집단의 모분산
확률변수 카이제곱
$$\chi^2= Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots = \sum\limits_{i=1}^{k}Z_{i}^2$$
여기서, $Z_i$는 표준정규분포 확률변수
$k$는 자유도: 표준정규분포 확률변수 개수
카이제곱분포
$$f(x \, ; k)=\dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$$
여기서, $x$는 카이제곱분포를 나타내는 확률변수의 값(변량)
$k$는 자유도: 확률변수제곱의 개수
기대빈도수 산출
관측빈도수 표집분포
$i$행과 $j$열로 구분되는 범주(집단)에서의 관측빈도수를 $O_{ij}$로 표기하고 기대빈도수를 $E_{ij}$로 표기합니다. 표본크기($N$)가 큰 경우, 관측빈도수($O_{ij}$)의 표집분포는 중심극한정리에 의해 기대빈도수($E_{ij}$)를 평균으로 하고 $E_{ij}(1 – \frac{E_{ij}}{N})$를 분산으로 하는 이항분포를 따릅니다. 그리고 표본크기가 충분히 크다면 $i$번째 행과 $j$번째 열의 범주(집단)의 관측빈도수의 표집분포는 정규분포에 근사하고 다음식으로 표현할 수 있습니다.
$$O_{ij} ∼ N(E_{ij}, E_{ij})$$
여기서, $O_{ij}$는 확률변수이며 $\text{집단}_{ij}$의 관측빈도수
이 정규분포를 표준정규분포로 변환하면 다음과 같습니다.
$$\dfrac{O_{ij} – E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} =Z_{ij}∼ N(0, 1)$$
각 집단의 표준정규분포를 나타내는 $Z_{ij}$의 제곱을 모두 더한 것은 확률변수이고 카이제곱($\chi^2$)이라 합니다. 카이제곱은 카이제곱분포를 나타냅니다. 이 때 표본의 집단의 자유도는 (r-1)(c-1)이 됩니다.
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}=\chi^2 ∼ \chi^2_{(r-1)(c-1)}$$
여기서, (r-1)(c-1)은표본의 집단의 자유도
표본의 자유도 등식
표본내 관측빈도 집단의 자유도 = 행 관측빈도 집단의 자유도 + 열 관측빈도 집단의 자유도 + 표본 상대빈도 집단의 자유도
$$(r \times c-1)=(r-1)+(c-1)+(r-1)(c-1)$$
여기서, $r$과 $c$는 행과 열의 두 범주형 확률변수값의 개수
가설검정
가설
귀무가설 $H_{0}$ : 범주형 확률변수 $A$로 구분되는 범주형 확률변수 $B$의 확률분포는 동일하다.
대립가설 $H_{1}$ : 범주형 확률변수 $A$로 구분되는 범주형 확률변수 $B$의 확률분포는 동일하지 않다.
검정통계량
$$\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}$$
여기서 $O_{ij}$는 관측빈도수
$E_{ij}$는 기대빈도수
그리고 $r$은 행으로 표현되는 범주형변수의 속성의 개수이고, $c$는 열로 표현되는 범주형변수의 속성의 개수입니다.
새로운 확률변수의 확률분포는 근사적으로 자유도가 $(r-1)(c-1)$인 $\chi^2$분포를 따릅니다.
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}=\chi^2 ∼ \chi^2_{(r-1)(c-1)}$$
여기서, (r-1)(c-1)은표본의 집단의 자유도
귀무가설($H_{0}$) 기각역 – 유의수준이 $α$일 때
$$\chi_{obs}^{2}=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{c}\dfrac{\left(O_{ij}-E_{ij}\right)^2}{E_{ij}}>\chi^2_{(r-1)(c-1);\alpha}$$
여기서 $\chi_{obs}^2$은 검정통계량
$O_{ij}$는 관측빈도수
$E_{ij}$는 기대빈도수
$\alpha$는 유의수준
두 범주형 확률변수의 관찰도수분포표 : 관찰도수($O_{ij}$)의 $r\times c$ 교차표
| 관찰도수 $O_{ij}$ | 범주형 확률변수 $A$ | 행의 합 | ||||
| $A_{1}$ | $A_{2}$ | $\cdots$ | $A_{c}$ | |||
| 범주형 확률변수 $B$ |
$B_{1}$ |
$O_{11}$ |
$O_{12}$ |
$\cdots$ |
$O_{1c}$ |
$T_{1\cdot}$ |
|
$B_{2}$ |
$O_{21}$ |
$O_{22}$ |
$\cdots$ |
$O_{2c}$ |
$T_{2\cdot}$ |
|
|
$\cdots$ |
$\cdots$ |
$\cdots$ |
$\cdots$ |
$\cdots$ |
$\cdots$ |
|
|
$B_{r}$ |
$O_{r1}$ |
$O_{r2}$ |
$\cdots$ |
$O_{rc}$ |
$T_{r\cdot}$ |
|
| 열의 합 | $T_{\cdot 1}$ | $T_{\cdot 2}$ | $\cdots$ | $T_{\cdot c}$ | $n$ | |
두 범주형 확률변수의 기대도수분포표 : 기대도수($E_{ij}$)의 $r\times c$ 교차표
| 기대도수 $E_{ij}$ | 범주형 확률변수 $A$ | 행의합 | ||||
| $A_{1}$ | $A_{2}$ | $\cdots$ | $A_{c}$ | |||
| 범주형 확률변수 $B$ | $B_{1}$ | $E_{11}=T_{1\cdot}\dfrac{T_{\cdot 1}}{n}$ | $E_{12}=T_{1\cdot}\dfrac{T_{\cdot 2}}{n}$ | $\cdots$ | $E_{1c}=T_{1\cdot}\dfrac{T_{\cdot c}}{n}$ | $T_{1\cdot}$ |
| $B_{2}$ | $E_{21}=T_{2\cdot}\dfrac{T_{\cdot 1}}{n}$ | $E_{22}=T_{2\cdot}\dfrac{T_{\cdot 2}}{n}$ | $\cdots$ | $E_{2c}=T_{2\cdot}\dfrac{T_{\cdot c}}{n}$ | $T_{2\cdot}$ | |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | |
| $B_{r}$ | $E_{r1}=T_{r\cdot}\dfrac{T_{\cdot 1}}{n}$ | $E_{r2}=T_{r\cdot}\dfrac{T_{\cdot 2}}{n}$ | $\cdots$ | $E_{rc}=T_{r\cdot}\dfrac{T_{\cdot c}}{n}$ | $T_{r\cdot}$ | |
| 열의 합 | $T_{\cdot 1}$ | $T_{\cdot 2}$ | $\cdots$ | $T_{\cdot c}$ | $n$ | |
두 범주형 확률변수의 카이제곱 확률분포표 : 카이제곱($\chi^2$)의 $r \times c$ 교차표
| $Z^2$ | 범주형 변수 $B$ | 행의 합 | ||||
| $B_{1}$ | $B_{2}$ | $\cdots$ | $B_{c}$ | |||
범주형 변수 $A$ | $A_{1}$ | $\dfrac{(O_{11}-E_{11})^2}{E_{11}}$ | $\dfrac{(O_{12}-E_{12})^2}{E_{12}}$ | $\cdots$ | $\dfrac{(O_{1c}-E_{1c})^2}{E_{1c}}$ | $$\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{1j}-E_{1j})^2}{E_{1j}}$$ |
| $A_{2}$ | $\dfrac{(O_{21}-E_{21})^2}{E_{21}}$ | $\dfrac{(O_{22}-E_{22})^2}{E_{22}}$ | $\cdots$ | $\dfrac{(O_{2c}-E_{2c})^2}{E_{2c}}$ | $$\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{2j}-E_{2j})^2}{E_{2j}}$$ | |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | |
| $A_{r}$ | $\dfrac{(O_{r1}-E_{r1})^2}{E_{r1}}$ | $\dfrac{(O_{r2}-E_{r2})^2}{E_{r2}}$ | $\cdots$ | $\dfrac{(O_{rc}-E_{rc})^2}{E_{rc}}$ | $$\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{rj}-E_{rj})^2}{E_{rj}}$$ | |
| 열의 합 | $$\sum_{i=1}^{r}\dfrac{(O_{i1}-E_{i1})^2}{E_{i1}}$$ | $$\sum_{i=1}^{r}\dfrac{(O_{i2}-E_{i2})^2}{E_{i2}}$$ | $\cdots$ | $$\sum_{i=1}^{r}\dfrac{(O_{ic}-E_{ic})^2}{E_{ic}}$$ | $$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ $$ \sim \chi_{(r-1)(c-1)}^2$$ | |
교차분석 카이제곱검정표
| 귀무가설($H_0$) | 검정통계량 | 대립가설($H_1$) | 귀무가설 기각역 |
| $\chi_{obs}^2=0$ | $\chi_{obs}^2=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$ | $\chi_{obs}^2<0$ | $\chi_{obs}^2<-\chi^2_{(r-1)(c-1)\ ;\ \alpha}$ |
| $\chi_{obs}^2>0$ | $\chi_{obs}^2>\chi^2_{(r-1)(c-1)\ ;\ \alpha}$ | ||
| $\chi_{obs}^2\neq0$ | $\left|\chi_{obs}^2\right|>\chi^2_{(r-1)(c-1)\ ;\ \frac{\alpha}{2}}$ |