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모델링
확률모델, 새 확률변수, 통계모델, 연구계획
데이터분석
모수추정, 모수비교
표본종류: 독립표본(두 집단)
확률변수가정: 등분산성, 독립성, 정규성
새확률변수: 평균차이
표집분포: 표본평균 중심극한정리
검정확률분포: t분포
검정통계량: 평균차이와 표준오차의 비
귀무가설: 등심단면적 평균차이는 0
가설검정: 유의확률과 유의수준을 비교
정규분포
$$f(y \, ; \mu_Y, \sigma_Y^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y} \mathrm{exp} \left(-\dfrac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right)$$
여기서, $y$는 정규분포를 나타내는 확률변수, $Y$의 값(변량)
$\mu_Y$는 확률변수, $Y$의 기대값: 집단의 모평균
$\sigma_Y^2$는 확률변수, $Y$의 모분산: 집단의 모분산
확률변수 t
$$t = \dfrac{Z}{\sqrt{\dfrac{V} {\nu}}}$$
여기서, $Z$는 표준정규분포를 나타내는 확률변수
$V$는 자유도 $\nu$의 $\chi^2$분포를 나타내는 확률변수
$\nu$는 $V$의 자유도
t분포
$$f(t \, ; \nu)=\dfrac{\Gamma \left({\frac{\nu +1}{2}}\right)}{\sqrt{\nu \pi}\Gamma \left(\dfrac{\nu }{2}\right)}\left(1+\dfrac {t^2}{\nu }\right)^{-\frac{\nu +1}{2}}$$
여기서, $t$는 t분포를 나타내는 확률변수의 값(변량)
$\nu$는 자유도
$\Gamma(\,\,)$는 감마함수
독립표본 차이의 확률분포 (확률변수의 정규성가정에 의해 $f$는 정규분포)
$$f(d \, ; 0, \sigma_D^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y} \mathrm{exp} \left(-\dfrac{d^2}{2\sigma_D^2}\right)$$
여기서, $d$는 독립된 두 확률변수값인 $y_1$과 $y_2$ 의 차이이며 연속형 확률변수인 $D$의 확률변수값: $d=y_1-y_2$
$D$는 독립된 두 확률변수인 $Y_1$과 $Y_2$의 차이이며 확률변수: $D=Y_1-Y_2$
$\sigma_D^2$은 확률변수, $D$의 모분산: $\sigma_D^2=\sigma_{Y_1}^2+\sigma_{Y_2}^2$
독립표본 차이의 분산 (독립표본의 공분산은 0)
$$\sigma^2_{D}=\sigma^2_{(Y_{1}-Y_{2})} = \sigma^2_{Y_{1}} + \sigma^2_{Y_{2}}$$
여기서, $D$는 독립된 두 확률변수인 $Y_{1}$과 $Y_{2}$의 차이이며 확률변수
$\sigma^2_{D}$는 확률변수 $D$의 분산
$\sigma^2_{Y_{1}}$는 확률변수 $Y_1$의 분산
$\sigma^2_{Y_{2}}$는 확률변수 $Y_2$의 분산
$${\rm Var}[D] = {\rm Var}[Y_1] + {\rm Var}[Y_2]$$
여기서, $D$는 독립된 두 확률변수인 $Y_1$과 $Y_2$의 차이이며 확률변수
${\rm Var}[D]$는 확률변수 $D$의 분산
${\rm Var}[Y_1]$는 확률변수 $Y_1$의 분산
${\rm Var}[Y_2]$는 확률변수 $Y_2$의 분산
독립표본 평균차이(difference of means)의 확률분포
$$\sigma^2_{\bar D}=\sigma^2_{(\bar{Y_{1}}-\bar{Y_{2}})} = \sigma^2_{\bar{Y_{1}}} + \sigma^2_{\bar{Y_{2}}}$$
$$\therefore \dfrac{\sigma_{D}^2}{n}=\dfrac{\sigma_{Y_1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{Y_2}^2}{n_2}$$
여기서, $\bar D$는 독립된 확률변수인 $Y_{1}$과 $Y_{2}$의 평균차이(difference of means)이며 확률변수: $\bar D=\bar{Y_{1}}-\bar{Y_{2}}$; $\bar d=\bar{d_{1}}-\bar{d_{2}}$
$\sigma^2_{\bar D}$는 확률변수 $\bar D$의 분산
$\sigma^2_{\bar{Y_{1}}}$는 확률변수 $\bar{Y_1}$의 분산
$\sigma^2_{\bar{Y_{2}}}$는 확률변수 $\bar{Y_2}$의 분산
$D$는 독립된 두 확률변수인 $Y_{1}$과 $Y_{2}$의 차이이며 확률변수
$\sigma^2_{D}$는 확률변수 $D$의 분산
$\sigma^2_{Y_{1}}$는 확률변수 $Y_1$의 분산
$\sigma^2_{Y_{2}}$는 확률변수 $Y_2$의 분산
$n$은 전체표본크기: $n=n_1+n_2$
$n_1$, $n_2$는 전체표본내 독립된 두 집단의 표본크기: $n_1+n_2=n$
독립표본 평균차이(difference of means) 표집의 확률분포 (확률변수의 정규성가정에 의해 $f$는 정규분포)
$$f(\bar {d} \, ; 0, \sigma^2_{\bar D})=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\bar D}}\mathrm{exp} \left(-\dfrac{{\bar d}^2}{2\sigma^2_{\bar D}}\right)$$
여기서, $\bar {d}$는 평균차이값: $\bar d=\bar y_{1}-\bar y_{2}$
$\sigma_{\bar D}^2$은 확률변수 $\bar D$의 모분산
독립표본 Z검정의 검정통계량 (등분산가정, 귀무가설)
$$z =\dfrac{(\bar{y}_1 – \bar{y}_2)-d_0}{\dfrac{\sigma_{D}}{\sqrt{n}}}=\dfrac{(\bar{y}_1 – \bar{y}_2)-d_0}{\sqrt{\dfrac{\sigma^2_{Y_1}}{n_1} + \dfrac{\sigma^2_{Y_2}}{n_2}}}=\dfrac{(\bar{y}_1 – \bar{y}_2)-d_0}{{\sigma_{Y}}\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$$
여기서, $\bar{y}_1$, $\bar{y}_2$는 독립된 두 집단의 표본평균의 관측값
$d_0$는 귀무가설로 주어지는 모평균차이: $d_0=\mu_{Y_2}-\mu_{Y_1}$
$n$은 전체표본크기: $n=n_1+n_2$
$n_1$, $n_2$는 전체표본내 독립된 두 집단의 표본크기: $n_1+n_2=n$
등분산가정 (집단내분산은 같다): $ \sigma_{Y_1}^2=\sigma_{Y_2}^2=\sigma_Y^2$
독립표본 t검정의 검정통계량 (등분산가정, 귀무가설): Z검정의 $\sigma_{Y}$를 $s_p$로 대체
$$t =\dfrac{(\bar{y}_1 – \bar{y}_2)-d_0}{s_p \sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$$
여기서, $\bar{y}_1$, $\bar{y}_2$는 독립된 두 집단의 표본평균의 관측값
$d_0$는 귀무가설로 주어지는 모평균차이: $d_0=\mu_{Y_2}-\mu_{Y_1}$
$n_1$, $n_2$는 독립된 두 집단의 표본크기: $n_1+n_2=n$
$n$은 전체표본크기: $n=n_1+n_2$
집단내변동 등식: $((n_1-1)+(n_2-1))\dfrac{s_p^2}{\sigma_Y^2}=(n_1-1)\dfrac{s_{Y_1}^2}{\sigma_{Y_1}^2}+(n_2-1)\dfrac{s_{Y_2}^2}{\sigma_{Y_2}^2}$
등분산가정 (집단내분산은 같다): $\sigma_Y^2= \sigma_{Y_1}^2=\sigma_{Y_2}^2$
통합표본분산 (pooled variance): $s_p = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_{Y_1}^2 + (n_2-1)s_{Y_2}^2}{n_1 + n_2 – 2}}$
$s_{Y_1}^2$, $s_{Y_2}^2$는 독립된 두 집단의 표본분산
독립표본 t검정표: 두 모평균 비교
| 귀무가설($H_0$) | 검정통계량 | 대립가설($H_1$) | 귀무가설 기각역 |
| $\mu_{Y_1} – \mu_{Y_2}=d_0$ | $$t=\dfrac{(\bar{y}_1-\bar{y}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}$$ 여기서, $s_p=\sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_{1}^2+(n_2-1)s_{2}^2}{n_1+n_2-2}}$ | $\mu_{Y_1} – \mu_{Y_2} \gt d_0$ | $t \lt -t_{n-2\ ;\ \alpha}$ |
| $\mu_{Y_1} – \mu_{Y_2} \lt d_0$ | $t \gt t_{n-2\ ;\ \alpha}$ | ||
| $\mu_{Y_1} – \mu_{Y_2} \ne d_0$ | $\mid {t} \mid \gt t_{n-2\ ;\ \frac{\alpha}{2}}$ |
독립표본 F검정표: 집단(group)이 2개인 일원분산분석 F검정(집단간분산과 집단내분산 비교)
| 귀무가설($H_0$) | 검정통계량 | 대립가설($H_1$) | 귀무가설 기각역 |
독립된 두 집단의 모평균이 같다. $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_0$ $\beta_{0,1}=\beta_{0,2}=\beta_0$ $$\therefore \sigma_B^2=0$$ | $F=\dfrac{s_{B}^2}{s_{W}^2}=\dfrac{MS_{B}}{MS_{W}}$ $\sigma_B^2 \neq 0$인 경우 $\sigma_B^2 $과 $\sigma_W^2$의 크기 비교 $t=\sqrt{F}$ | $$\sigma_B^2\gt\sigma_W^2$$ | $$\dfrac{s_B^2}{s_W^2}\gt F_{n_B-1,\ n_W-1\ ;\ \alpha}$$ |
| $$\sigma_B^2\lt\sigma_W^2$$ | $$\dfrac{s_B^2}{s_W^2}\lt\ F_{n_B-1,\ n_W-1\ ;\ \alpha}$$ | ||
| $$\sigma_B^2\ne\sigma_W^2$$ | $$\dfrac{s_B^2}{s_W^2}\gt F_{n_B-1,\ n_W-1\ ;1-\frac{\alpha}{2}}$$ $$\dfrac{s_B^2}{s_W^2}\lt F_{n_B-1,\ n_W-1\ ;\ \frac{\alpha} {2}}$$ |