모수검정(parametric test)은 모집단이 정규분포일 때 주로 수행합니다.

모집단의 확률분포는 일반적으로 평균이 $\mu$ 이고 분산이 $\sigma^2$인 정규분포를 따릅니다. 그리고 표본의 개체들은 모집단의 분포와 동일한 확률분포를 따르므로 표본의 개체도 정규분포를 따릅니다.

$$X_1,X_2,\cdots,X_n \sim {\rm iid} \, N(\mu, \sigma^2)$$

모집단의 분포가 정규분포를 따르면 새로운 확률변수인 표본평균($\bar{X}$)은 평균이 $\mu$이고 분산이 $\dfrac{\sigma^2}{n}$인 정규분포를 따르고 $Z$변환한 확률변수는 표준정규분포를 따릅니다.

$$Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim {\rm iid} \, N(0, 1)$$

여기서, $n$은 표본크기

표본분산($S^2$)에 $\dfrac{(n-1)}{\sigma^2}$을 곱한 또 다른 새로운 확률변수, $\chi^2$은 표본크기가 $n$인 표본에서는 자유도가 $(n-1)$인 카이제곱분포를 따릅니다.

$$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2$$

표본평균($\bar{X}$)을 $Z$변환한 새로운 확률변수($Z$) 식에서 모표준편차($\sigma$)를 알지 못하여 모표준편차를 표본표준편차($S$)로 대치하면 또 다른 새로운 확률변수, $T$가 됩니다. $T$는 자유도 $(n-1)$인 t분포를 따릅니다.

$$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim {\rm iid} \, t_{n-1}$$

두 확률변수, $V \sim \chi_{(k)}^2$와 $U \sim \chi_{(m)}^2$가 서로 독립이면 새로운 확률변수, $F$는 자유도가 $k$와 $m$인 F분포를 따릅니다.

$$F=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}} \sim \chi_{m, k}^2$$

중요한 점은 이상의 모수추정과 모수의 가설검정에서 사용할 새로운 확률변수들은 모두, 정규분포를 따르는 모집단으로부터 추출된 표본통계량 표집의 확률분포입니다.