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데이터
수집, 시각화, 설명
모델링
확률모델, 새 확률변수, 통계모델, 연구계획
데이터분석
모수추정, 모수비교
표본종류: 대응표본
확률변수가정: 선형성, 정규성
새확률변수: 상관계수(공분산/표준편차곱)
표집분포: 상관계수 중심극한정리
검정확률분포: t분포
검정통계량: 표본상관계수와 표준오차의 비
귀무가설: 마블링스코어와 등심지방함량의 상관계수는 0
가설검정: 유의확률과 유의수준을 비교
정규분포
f(y;μY,σ2Y)=1√2πσYexp(−(y−μY)22σ2Y)
여기서, y는 정규분포를 나타내는 확률변수, Y의 값(변량)
\mu_Y는 확률변수, Y의 기대값: 집단의 모평균
\sigma_Y^2는 확률변수, Y의 모분산: 집단의 모분산
확률변수 t
t = \dfrac{Z}{\sqrt{\dfrac{V} {\nu}}}
여기서, Z는 표준정규분포를 나타내는 확률변수
V는 자유도 \nu의 \chi^2분포를 나타내는 확률변수
\nu는 V의 자유도
t분포
f(t \, ; \nu)=\dfrac{\Gamma \left({\frac{\nu +1}{2}}\right)}{\sqrt{\nu \pi}\Gamma \left(\dfrac{\nu }{2}\right)}\left(1+\dfrac {t^2}{\nu }\right)^{-\frac{\nu +1}{2}}
여기서, t는 t분포를 나타내는 확률변수
\nu는 자유도
\Gamma(\,\,)는 감마함수
F = 집단간분산 / 집단내분산
F=\dfrac{MS_{B}}{MS_{W}}=\dfrac{\dfrac{SS_{B}}{k-1}}{\dfrac{SS_{W}}{n-k}}
여기서, MS_B는 집단간분산
MS_W는 집단내분산
SS_B는 집단간변동
SS_W는 집단내변동
k는 집단수
n은 표본크기
F = 회귀분산 / 잔차분산
F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}=\dfrac{\dfrac{SS_{Reg}}{k-1}}{\dfrac{SS_{Res}}{n-k}}=(n-2)\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Res}}
여기서, MS_{Reg}는 회귀분산: 회귀집단의 분산
MS_{Res}는 잔차분산: 잔차집단내분산 \because 회귀집단내분산=0
SS_{Reg}는 회귀변동
SS_{Res}는 잔차변동
k는 집단수: 회귀집단과 잔차집단 \therefore k=2
n은 표본크기
결정계수 = 설명된 변동 / 총 변동
R^2=\dfrac{SS_{Reg}}{SS_T}=\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Reg}+SS_{Res}}
여기서, SS_{Reg}는 회귀제곱합
SS_{Res}는 잔차제곱합
SS_T는 총제곱합
SS_{Reg} / SS_{Res}
\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Res}}=\dfrac{R^2}{1-R^2}
\therefore F=(n-2)\dfrac{R^2}{1-R^2}
여기서, n은 표본크기
R^2은 결정계수
상관의 유의성
대응된 두 변수가 정규분포를 나타내는 확률변수이면 결정계수는 상관계수의 제곱
R^2 = r^2
F=(n-2)\dfrac{r^2}{1-r^2}
t=\sqrt{F}=\sqrt{(n-2)\dfrac{r^2}{1-r^2}}=\dfrac{r}{\dfrac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{n-2}}}
여기서, n은 표본크기
r은 표본피어슨상관계수
상관분석표
| 변수 | 편차곱합 or 편차제곱합 | 자유도 | 편차곱평균 or 편차제곱평균 | 검정통계량 |
| X,Y | SM_{XY} | n-1 | MM_{XY}=\dfrac{SM_{XY}}{n-1}=S_{XY} : X, Y의 표본공분산 | F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}=(n-2)\dfrac{R^2}{1-R^2}∼F_{1,n-2} 여기서, R^2=\dfrac{s^2_{XY}}{s^2_{X}s^2_{Y}} |
| X | SS_X | n-1 | MS_X=\dfrac{SS_X}{n-1}= S_X^2 : X의 표본분산 | |
| Y | SS_X | n-1 | MS_Y=\dfrac{SS_Y}{n-1}=S_Y^2 : Y의 표본분산 |
상관분석 t검정표
| 귀무가설(H_0) | 검정통계량 | 대립가설(H_1) | 귀무가설 기각역 |
| \rho=\rho_0 | t=\dfrac{r-\rho_0}{\dfrac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{n-2}}} 여기서, \rho_0는 모상관계수 표본의 두 집단의 상관관계가 없으면 \rho_0=0 r은 표본상관계수 | \rho<\rho_0 | t<-t_{n-2\ ;\ \alpha} |
| \rho>\rho_0 | t>t_{n-2\ ;\ \alpha} | ||
| \rho\neq \rho_0 | \mid{t}\mid>t_{n-2\ ;\ \frac{\alpha}{2}} |