공분산은 두 변수의 평균점으로부터의 방향의 일치성을 나타냅니다. 그리고 두 변수의 공분산은 두 변수의 표준편차의 곱보다 클 수는 없습니다. 따라서 공분산과 두 표준편차의 곱을 이용하여 피어슨상관계수(Pearson correlation coefficient)를 정의합니다. 상관이 가장 큰 경우는  방향을 이루는 경향이 강해서 개체들을 표현한 점들이 직선상에 있는 경우입니다. 공분산의 값을 -1과 1사이에 나타내게 하는 방법은 두 변수의 표준편차의 곱으로 나누어 표준화하는 것입니다. 집단의 모공분산을 두 확률변수의 표준편차의 곱으로 나눈 값을 피어슨 상관계수라 하고 $\rho$(“로”로 읽음)로  표기합니다. 상관계수는 단위가 없는 무차원수입니다.

다시한번 정리하면 두 변수사이가 상관관계가 있다면 이의 정도를 나타내는 비례상수(proportional factor, proportional constant)를 상관계수(correlation efficiency)라 합니다. 또한 상관계수는 표준화된 공분산이라고 할 수 있습니다. 공분산은 각 변수의 단위에 의존하게 되어 변동의 크기를 가늠하기 어려우므로 공분산을 각 변수의 표준편차로 나누어 표준화합니다. 양의 값이면 두 변수가 같은 방향으로 움직이고 음의 값이면 두 변수가 다른 방향으로 움직임을 의미합니다. 상관계수가 0이면 선형관계가 없다는 뜻입니다. 반면 상관계수가 1이나 -1이면 완전한 선형관계를 의미합니다.

확률변수 $X$와 $Y$의 모피어슨상관계수($\rho_{X,Y}$)의 추정량(estimator)은 다음과 같습니다.

$$\rho_{XY}=\dfrac {\sigma_{XY}} {\sigma_{X}\sigma_{Y}}=\dfrac {{\rm E}[(X-\mu_{X})(Y-\mu_{Y})]} {\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)(Y_i-\mu_Y)}{N}} {\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)^2}{N}}\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(Y_i-\mu_Y)^2}{N}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)(Y_i-\mu_Y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(Y_i-\mu_Y)^2}}$$

여기서, $\sigma_{XY}$는  $X$와 $Y$의 모공분산

$\sigma_{X}$는 $X$의 모표준편차

$\sigma_{Y}$는 $Y$의 모표준편차

$\mu_{X}$는  $X$의 모평균

$\mu_{Y}$는 $Y$의 모평균

$N$은 집단크기 : 무한집단인 경우, $N → ∞$

그리고, ${\rm E}[(X-\mu_{X})(Y-\mu_{Y})]={\rm E}[XY]-{\rm E}[X]{\rm E}[Y]$가 성립합니다.

모피어슨상관계수의 예측값($\hat {\rho}$)의 추정량은 아래와 같습니다.

$${\hat {\rho}}_{XY}= \dfrac {S_{XY}} {\sigma_{X}\sigma_{Y}}=\dfrac {{\rm E}\left[{\left({X-\bar {X}}\right)\left({Y-\bar {Y}}\right)}\right]} {\sigma_{X}\sigma_{Y}}=\dfrac{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{n-1}} {\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)^2}{N}}\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(Y_i-\mu_Y)^2}{N}}}$$

여기서, $S_{XY}$는  $X$와 $Y$의 표본공분산

$\sigma_{X}$는 $X$의 모표준편차

$\sigma_{Y}$는 $Y$의 모표준편차

$S_X$는 $X$의 표본표준편차

$S_Y$는 $Y$의 표본표준편차

$\mu_{X}$는  $X$의 모평균

$\mu_{Y}$는 $Y$의 모평균

$\bar X$는 $X$의 표본평균

$\bar Y$는 $Y$의 표본평균

$N$은 집단크기 : 무한집단인 경우, $N → ∞$

$n$은 표본크기

표본상관계수는 $r$로 표기하며 추정량은 다음과 같습니다. 표본상관계수의 추정량은 모피어슨상관계수의 예측량에서 모분산을 표본분산으로 대체한 경우입니다.

$${r}_{XY}=\dfrac {S_{XY}} {S_{X}S_{Y}}=\dfrac{{\rm E}[(X-\bar X)(Y-\bar Y)]}{S_{X}S_{Y}}=\dfrac{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{n-1}} {\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}}\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2}{n-1}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2}}$$

여기서, $S_{XY}$는  $X$와 $Y$의 표본공분산

$S_X$는 $X$의 표본표준편차

$S_Y$는 $Y$의 표본표준편차

$\bar X$는 $X$의 표본평균

$\bar Y$는 $Y$의 표본평균

$n$은 표본크기