중심극한정리(Central Limit Theorem)는 표본평균을 계산하는 과정에서 극단적인 값들이 서로 상쇄되어 표본평균이 집단의 모평균으로 모이는 경향을 말합니다.  표본크기($n$)가 크면 표본평균의 표집의 분산은 작아집니다. 즉, 표본평균 표집의 확률분포(sampling distribution of sample mean)는 표본의 크기가 커질수록 정규분포의 종모양(bell shape)이 되면서 뽀족해집니다.

평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$인 모집단에서 크기가 $n$인 선택가능한 모든 표본을 뽑으면 모집단의 분포모양과는 상관없이 표본평균들의 확률분포는 표본의 크기($n$)를 증가시킬수록 정규분포에 접근합니다. 즉, 표본평균의 확률분포는 모집단의 평균(모평균)을 중심으로 하는 정규분포를 나타냅니다. 이를 중심극한정리라고 합니다.

모평균과 가능한 모든 표본평균들 사이의 관계는 모집단이 정규분포를 가지지 않아도 정규분포로 관찰됩니다. 만일, 집단이 매우 크면 가능한 모든 표본들을 모두 찾아서 표본평균 표집의 확률분포를 완벽하게 구하는 것은 불가능합니다.  이를 해결하기 위하여  다음과 같은 이론을 정립하였습니다. 이를 중심극한정리(Central Limit Theorem)라고 합니다.

– 모집단이 정규분포 ${\rm N}(\mu,\sigma^2)$라면 표본평균의 표집의 확률분포는 정규분포이고 ${\rm N}\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$로 표현한다.

– 모집단이 모평균이 $\mu$이고 모분산이 $\sigma^2$인 무한히 큰 집단이라면 표본의 크기($n$)가 충분히 클 때 모집단이 어떠한 분포라도 표본평균 표집의 확률밀도함수는 근사적으로 정규분포이고 ${\rm N}\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$로 표현한다.

모집단을 나타내는 확률변수가 평균이  $\mu$이고 분산 $\sigma^2$인 임의의 확률분포를 가질 때 크기가 $n$인 표본을 단순임의복원추출하면 표집(sampling)한 표본평균들의 확률분포(표본평균 표집의 확률분포)는 다음과 같은 특성을 갖습니다.

– 가능한 모든 표본에서 표본평균  표집의 평균(${\mu}_{\bar{x}}$)은 모집단의 평균(모평균)과 같다.

$$\mu_\bar{x}=\mu$$

– 가능한 모든 표본에서 표본평균 표집의 분산($\sigma_{\bar{X}}$)은 모집단의 분산(모분산)을 표본크기($n$)로 나눈 값이다

$$\sigma_{\bar{X}}^2=\dfrac{\sigma^2}{n}$$

– 가능한 모든 표본평균들의 분포는 근사적으로 정규분포이다.

$${\bar X}\sim{\rm N}\left(\mu{,}\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$$