표본평균의 표준오차는 확률변수인 표본평균이 중심극한정리에 의해 모평균을 중심으로 종모양의 확률분포를 나타내는데 이 확률분포의 표준편차를 의미합니다. 표본평균의 기대값은 모평균인데 기대값과의 오차라는 의미에서 편차(deviation)가 아닌 오차(error)로 표현합니다. 모표준편차를 표본의 크기($n$)의 제곱근으로 나누면(표준화 하면) 표본평균의 표준오차가 됩니다.

표준화라고 하는 것은 확률변수의 단위를 표준편차로 하는 과정을 말합니다. 다시말하면 표준편차를 1로 만드는 변수변환(Change of Variable)입니다.

표본평균의 표준오차(standard error of the mean)는 표본평균 표집(표본평균으로 이루어진 집단)의 표준편차와 같습니다. 즉, 표본평균의 퍼짐의 정도를 나타내는 표준편차($\sigma_{\bar{X}}$)는 표본평균의 표준오차입니다. 표본평균의 기대값은 중심극한정리에 따라 모평균과 같습니다.

모집단과 표본의 확률변수

$$X$$

모집단의 모형

$$\{X_1, X_2, \cdots , X_{\infty}\}$$

여기서,  모집단크기는 $\infty$

표본의 모형

$$\{X_1, X_2, \cdots , X_{n}\}$$

여기서,  표본크기는 $n$

표본평균($\bar X$)의 기대값 : 모평균

$${\rm E}[\bar X]=\mu_X$$

표본분산($S^2$)의 기대값 : 모분산

$${\rm E}[S^2]=\sigma^2_X$$

새로운 확률변수 : 표본평균

$$\bar X$$

표본평균 표집의 모형

$$\{{\bar X}_1, {\bar X}_2, \cdots , {\bar X}_{\infty}\}$$

여기서,  표본평균의 표집의 크기는 $\infty$

표본평균 표집의 평균 : 표본평균 표집의 평균=표본평균의 기대값=모평균

$$\mu_{\bar X}={\rm E}[\bar X]=\mu_X$$

표본평균 표집의 분산(표본평균의 움직임) : 모분산(개체의 움직임의 크기)을 표본을 이루는 개체가 나누어 가짐 – 모분산을 표본크기로 나눈 것

집단을 이루는 개체의 움직임은 집단의 움직임과 집단내의 개체의 움직임으로 나누어 생각합니다.

집단중에서 표본집단을 생각하면,  표본을 여러번 추출(표집)하면 표본의 움직임은 두 가지로 나누어 생각할 수 있습니다.  내부의 움직임(표본평균을 원점으로 하는 좌표계에서의 움직임)은 모분산과 같고 외부에서 보는 움직임(모평균을 원점으로 하는 좌표계에서의 움직임)은 표본평균의 움직임이며 모분산을 개체가 나눠가지는 것으로 모델링합니다.

$$\sigma_{\bar X}^2={\rm Var}[\bar X]=\dfrac{\sigma_X^2}{n}$$

여기서,  $n$은 표본크기

표본평균 표집의 표준편차

$$\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}}$$

여기서,  $n$은 표본크기

새로운 확률변수인 표본평균($\bar X$)의 $Z$변환

$$Z=\dfrac{\bar X-\mu_X}{\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}∼Z분포$$

여기서,  $n$은 표본크기이며 큰 수

새로운 확률변수인 표본평균($\bar X$)의 $t$변환

$$t=\dfrac{\bar X-\mu_X}{\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}}∼t_{n-1}$$

여기서,  $n$은 표본크기 : $(n-1)$은 표본크기가 $n$인 표본의 자유도

$t_{n-1}$은 자유도가 $(n-1)$인 $t$분포

표본평균의 표준오차 : 표본평균 표집의 표준편차

$${\rm SE}(\bar X)=\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}} = \dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$$

여기서,  $\sigma^2_X$는 모분산

$\sigma_X$는 모표준편차

$n$은 표본크기

표본평균의 표준오차 – 표본크기가 큰 경우($\sigma_X≈S_X$)

$${\rm SE}(\bar X)=\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}} = \dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}≈\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}$$

여기서,  $\sigma^2_X$는 모분산

$\sigma_X$는 모표준편차

$S_X$는 표본표준편차

$n$은 표본크기