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수집, 시각화, 설명
모델링
확률모델, 새 확률변수, 통계모델, 연구계획
데이터분석
모수추정, 모수비교
표본종류: 대응표본
확률변수가정: 선형성, 등분산성, 독립성, 정규성
새확률변수: 결정계수(공분산제곱과 분산곱의 비)
표집분포: 결정계수 중심극한정리
검정확률분포: F분포
검정통계량: 표본결정계수와 표준오차의 비
귀무가설: 마블링스코어로 설명되는 등심지방함량은 0
가설검정: 유의확률과 유의수준을 비교
정규분포
$$f(y \, ; \mu_Y, \sigma_Y^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y} \mathrm{exp} \left(-\dfrac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right)$$
여기서, $y$는 정규분포를 나타내는 확률변수, $Y$의 값(변량)
$\mu_Y$는 확률변수, $Y$의 기대값: 집단의 모평균
$\sigma_Y^2$는 확률변수, $Y$의 모분산: 집단의 모분산
확률변수 카이제곱
$$\chi^2= Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots = \sum\limits_{i=1}^{k}Z_{i}^2$$
여기서, $Z_i$는 표준정규분포 확률변수
$k$는 자유도: 표준정규분포 확률변수 개수
카이제곱분포
$$f(x \, ; k)=\dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$$
여기서, $x$는 카이제곱분포를 나타내는 확률변수의 값(변량)
$k$는 자유도: 확률변수제곱의 개수
확률변수 F
$$F = \dfrac{\frac{\chi^2_1}{d_1}}{\frac{\chi^2_2}{d_2}}$$
여기서, $F$는 F분포를 나타내는 확률변수
$\chi^2_1$과 $\chi^2_2$는 카이제곱분포를 나타내는 확률변수
$d_1$과 $d_2$는 $\chi^2_1$과 $\chi^2_2$가 나타내는 카이제곱분포의 자유도
F분포
$$f(x; d_1, d_2) = \frac{\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} – 1} \left(1 + \frac{d_1}{d_2}x\right)^{-\frac{d_1 + d_2}{2}}}{B\left(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}\right)}
$$
여기서, $x$는 F분포를 나타내는 확률변수의 값(변량)
$d_1$과 $d_2$는 각각 분자와 분모의 자유도
$B(\,\,)$는 베타함수
$B(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{d_1}{2}) \Gamma(\frac{d_2}{2})}{\Gamma(\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2})}$
$\Gamma(\,\,)$는 감마함수
F = 집단간분산 / 집단내분산
$$F=\dfrac{MS_{B}}{MS_{W}}=\dfrac{\dfrac{SS_{B}}{k-1}}{\dfrac{SS_{W}}{n-k}}$$
여기서, $MS_B$는 집단간분산
$MS_W$는 집단내분산
$SS_B$는 집단간변동
$SS_W$는 집단내변동
$k$는 집단수
$n$은 표본크기
F = 회귀분산 / 잔차분산
$$F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}=\dfrac{\dfrac{SS_{Reg}}{k-1}}{\dfrac{SS_{Res}}{n-k}}=(n-2)\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Res}}$$
여기서, $MS_{Reg}$는 회귀분산: 회귀집단의 분산
$MS_{Res}$는 잔차분산: 잔차집단내분산 $\because$ 회귀집단내분산=0
$SS_{Reg}$는 회귀변동
$SS_{Res}$는 잔차변동
$k$는 집단수: 회귀집단과 잔차집단 $\therefore k=2$
$n$은 표본크기
결정계수 = 설명된 변동 / 총 변동
$$R^2=\dfrac{SS_{Reg}}{SS_T}=\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Reg}+SS_{Res}}$$
여기서, $SS_{Reg}$는 회귀제곱합
$SS_{Res}$는 잔차제곱합
$SS_T$는 총제곱합
$SS_{Reg}$ / $SS_{Res}$
$$\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Res}}=\dfrac{R^2}{1-R^2}$$
$$F=(n-2)\dfrac{R^2}{1-R^2}$$
여기서, $n$은 표본크기
$R^2$은 결정계수
회귀직선의 적합성
$$R^2=r^2$$
$$F=(n-2)\dfrac{r^2}{1-r^2}$$
여기서, $n$은 표본크기
$r$은 표본피어슨상관계수
단순선형회귀분석표
| 변동: 편차제곱합 | 자유도 | 분산: 편차제곱평균 | 검정통계량 | |
| 회귀 (Regression) | $SS_{Reg}$ | $1$ | ${MS}_{Reg}=\dfrac{SS_{Reg}}{1}$ | $F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}=(n-2)\dfrac{SS_{Reg}}{SS_{Res}}$ |
| 잔차 (Residual) | $SS_{Res}$ | $n-2$ | $MS_{Res}=\dfrac{SS_{Res}}{n-2}$ | |
| 벡터합 (Total) | $SS_T$ | $n-1$ | $MS_T=\dfrac{SS_T}{n-1}$ |
단순선형회귀분석 F검정표
| 귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
| $$ \beta_1=\beta_{1,0}$$ | $F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}$ | $\beta_1<\beta_{1,0}$ | 검정통계량으로 $\beta_1$이 $\beta_{1,0}$보다 작은 지 알 수 없다. |
| $\beta_1>\beta_{1,0}$ | 검정통계량으로 $\beta_1$이 $\beta_{1,0}$보다 큰 지 알 수 없다. | ||
| $$ \beta_1 \ne \beta_{1,0}$$ | $F\gt F_{1,\ n-2\ ;\ \alpha}$ |