확률변수, $X$의 표본평균, $\bar{X}$의 표준오차는 $\sigma_{\bar X}$로 표기합니다.

확률변수인 표본평균이 중심극한정리에 의해 모평균을 중심으로 종모양의 확률분포를 나타내는데 이 확률분포의 표준편차를 의미합니다. 표본평균의 기대값은 모평균인데 기대값과의 오차라는 의미에서 편차(deviation)가 아닌 오차(error)로 표현합니다. 모표준편차를 표본의 크기($n$)의 제곱근으로 나누면(표준화 하면) 표본평균의 표준오차가 됩니다.
표준화를 하면 확률변수가 표준편차의 몇 배인가로 표현할 수 있습니다. 다시말하면 표준편차를 1로 만드는 변수변환(change of variable)입니다.
표본평균의 표준오차(standard error of the mean)는 표본평균 표집(표본평균으로 이루어진 집단)의 표준편차와 같습니다. 즉, 표본평균의 퍼짐의 정도를 나타내는 표준편차($\sigma_{\bar{X}}$)는 표본평균의 표준오차입니다. 표본평균의 기대값은 중심극한정리에 따라 모평균과 같습니다.

모집단과 표본의 확률변수
$$X$$

모집단의 모형
$$\{X_1, X_2, \cdots , X_{\infty}\}$$

여기서,  모집단크기는 $\infty$

표본의 모형
$$\{X_1, X_2, \cdots , X_{n}\}$$

여기서,  표본크기는 $n$

표본평균($\bar X$)의 기대값 : 모평균
$${\rm E}[\bar X]=\mu_X$$

표본분산($S^2$)의 기대값 : 모분산
$${\rm E}[S^2]=\sigma^2_X$$

새로운 확률변수 : 표본평균
$$\bar X$$

표본평균 표집의 모형
$$\{{\bar X}_1, {\bar X}_2, \cdots , {\bar X}_{\infty}\}$$

여기서,  표본평균의 표집의 크기는 $\infty$

표본평균 표집의 평균 : 표본평균 표집의 평균=표본평균의 기대값=모평균
$$\mu_{\bar X}={\rm E}[\bar X]=\mu_X$$

표본평균 표집의 분산 : 모분산의 평균 -> 집단의 움직임은 각 개체의 움직임으로 표현되며 내부움직임만 있음 – 표본의 움직임(표집)은 두개로 나타나는데 내부는 모분산을 나눠가지는 것으로 중화되지만 외부는 표본평균의 흔들림으로 나타남.
$$\sigma_{\bar X}^2={\rm Var}[\bar X]=\dfrac{\sigma_X^2}{n}$$

여기서,  $n$은 표본크기

$\sigma_X^2$은 모분산

표본평균 표집의 표준편차
$$\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}}$$

여기서,  $n$은 표본크기

새로운 확률변수인 표본평균($\bar X$)의 $Z$변환
$$Z=\dfrac{\bar X-\mu_X}{\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}∼Z\text{분포}$$

여기서,  $n$은 표본크기이며 큰 수

$Z\text{분포}$는 표준정규분포

새로운 확률변수인 표본평균($\bar X$)의 $t$변환
$$t=\dfrac{\bar X-\mu_X}{\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}}∼t_{n-1}$$

여기서,  $n$은 표본크기 : $(n-1)$은 표본크기가 $n$인 표본의 자유도

$t_{n-1}$은 자유도가 $(n-1)$인 $t$분포

표본평균의 표준오차 : 표본평균의 표준오차 = 표본평균 표집의 표준편차
$${\rm SE}(\bar X)=\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}} = \dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$$

여기서,  $\sigma^2_X$는 모분산

$\sigma_X$는 모표준편차

$n$은 표본크기

표본평균의 표준오차 – 표본크기가 큰 경우($\sigma_X≈S_X$)
$${\rm SE}(\bar X)=\sigma_{\bar X}={\rm SD}[\bar X]=\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n}} = \dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}≈\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}$$

여기서,  $\sigma^2_X$는 모분산

$\sigma_X$는 모표준편차

$S_X$는 표본표준편차

$n$은 표본크기

표본분산의 표준오차 : 표본분산 표집의 표준편차 – 표본크기가 크고 모집단이 정규분포인 경우
$${\rm SE}(S_X^2) = \sigma_{S_X^2} = \sqrt{\dfrac{2\sigma_X^4}{n-1}}≈ \sqrt{\dfrac{2S_X^4}{n-1}}$$

여기서,  $S_X^2$는 확률변수 $X$의 표본분산

$\sigma_X^2$는 확률변수 $X$의 모분산

$S_X^2$는 확률변수 $X$의 표본분산

$n$은 표본크기