집단의 속성을 나타내는 측도(mearsure)로는 변동(variation)과 자유도(degree of freedom)가 있습니다. 분산분석을 위해 전체집단을 이루는 각 집단의 변동과 자유도를 구합니다. 집단의 변동은 집단의 평균에서의 편차제곱합입니다. 전체집단의 표본은 전체집단을 이루는 각 집단의 표본의 합집합입니다.

$$Y_{ij} – {\bar Y} = (\overline {Y_i}-\bar Y) + (Y_{ij}-{\overline {Y_i}})$$

윗 식에서 왼쪽 식과 오른쪽 식을 각각 제곱하여 전체표본크기만큼 합하면 다음식과 같습니다.

$$\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(Y_{ij}-\bar Y)^2 = \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(\overline {Y_i}-\bar Y)^2 + \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(Y_{ij}-\overline {Y_i})^2$$

결과변수(반응변수, 종속변수)인 $Y$의 관측값들과 총평균 사이의 거리 제곱합으로 이를 총변동(total variation) 또는 총제곱합(total sum of squares, $SS_T$)이라 하고 다음과 같습니다.

$$SS_T=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{k}\mathop{\sum}\limits_{j=1}\limits^{n_i}(Y_{ij}-\overline{Y_{\cdot\cdot}})^2$$

$Y$의 $i$번째 집단(그룹, 수준, 카테고리)에서의 관측값들의 평균 $\overline{Y_i}$은 전체집단의 모평균을 기준으로 $i$번째 집단의 변동을 나타낸 것입니다. 그러므로, 개개의 관측값 대신에 집단의 표본평균을 사용하여 총변동을 구하면(즉, 총제곱합을 구하는 공식에서 $Y_{ij}$ 대신에 $\overline{Y_{i\cdot}}$를 대입하면), 이는 집단의  변동을 나타냅니다. 이와 같은 변동을 집단간 변동(between variation)이라 하며 이 변동을 나타내는 제곱합을 처리제곱합(treatment sum of squares, $SS_{Tr}$)이라 합니다. 각 집단간에 발생하는 변동은 다음식으로 표현합니다.

$$SS_{Tr}=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{k}\mathop{\sum}\limits_{j=1}\limits^{n_i}(\overline{Y_{i\cdot}}-\overline {Y_{\cdot\cdot}})^2=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{k}{n_i}(\overline{Y_{i\cdot}}-\overline{Y_{\cdot\cdot}})^2$$

각 집단내에서 발생하는 변동의 합은 다음과 같습니다.

$$SS_E=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{k}\mathop{\sum}\limits_{j=1}\limits^{n_i}(Y_{ij}-\overline{Y_{i\cdot}})^2$$

각 집단내의 변동을 집단내 변동(within variation)이라 하며, 이 집단내 변동을 나타내는 제곱합을 오차제곱합(error sum of squares, $SS_E$)이라 합니다.
각 제곱합이 가지는 자유도는 다음과 같은 논리에 의해 구해집니다. $SS_T$를 계산하기 위해서는 $n$개의 $Y_{ij}$ 값이 있지만, 먼저 전체평균의 추정량인 ${\bar{Y}}$을 구해야하므로 $SS_T$는 자유도 $(n-1)$을 가집니다. 오차제곱합 $SS_E$을 구하기 위해서는 $k$개의 각 집단의 표본평균인 $\overline{Y_{1}},\cdots,\overline{Y_{k}}$를 먼저 구하므로 $SS_E$는 $(n-k)$의 자유도를 가집니다. 처리제곱합$SS_{Tr}$은 $SS_T$의 자유도에서 $SS_E$의 자유도를 뺀 나머지 $(k-1)$의 자유도를 가집니다.
그리고 편차제곱합의 관계를 정리하여 다음과 같이 변동의 등식으로 표현할 수 있습니다.

$$SS_T=SS_{Tr} + SS_E$$

여기서,  $SS_{T}$는 총제곱합(Total sum of squares)

$SS_{Tr}$은 처리제곱합(Treatment sum of squares)

$SS_{E}$는 오차제곱합(Sum of squares due to Error)

집단의 자유도를 분석하기 위하여 전체집단의 자유도와 각 집단의 자유도를 구합니다. 총제곱합($SS_T$)의 데이터는 $n$개이고, 데이터 중 전체집단의 평균을 구하기 위하여 자유도 1개를 사용하므로 총자유도는 $(n – 1)$입니다. 처리제곱합($SS_{Tr}$)은 $k$개의 집단의 편차제곱합이고, 각 집단의 모평균의 평균인 전체평균 1개를 기준으로 사용하므로 처리제곱합의 자유도는 $(k-1)$입니다. 오차제곱합($SS_E$)의 자유도는 오차제곱을 구할 때, 각 집단의 모평균이 기준이 되므로 전체개수($n$)에서 각 집단의 모평균의 개수, 즉 각 집단의 개수 $k$를 뺸 $(n-k)$가 오차제곱합($SS_E$)의 자유도입니다, 따라서 다음식이 성립합니다.

$$(n-1)=(k-1) + (n-k)$$

여기서,  $n$은 전체집단 표본의 크기

$k$는 집단의 수

위 변동등식에 대응하는 자유도의 등식은 다음식과 같습니다.

$$df(SS_T) = df(SS_{Tr}) + df(SS_E)$$

여기서,  $df(SS_T)$는 총제곱합($SS_T$)의 자유도

$df(SS_{Tr})$는 처리제곱합($SS_{Tr}$)의 자유도

$df(SS_{E})$는 오차제곱합($SS_{E}$)의 자유도

$$\eqalign{t_{\nu}^2 &= \dfrac{Z_{\bar{D}}^2}{\dfrac{V}{\nu}}\cr &=\dfrac{\dfrac{\bar{D}^2}{\sigma^2}\left(\dfrac{\nu}{V}\right)}{\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)} \cr &\sim \dfrac{\dfrac{\bar{D}^2}{S_p^2}}{\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}\cr &= \dfrac{\bar{D}^2}{\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)} \dfrac{1}{MS_E} \cr &= \dfrac{MS_{Tr}}{MS_E} \cr &= F_{\nu_{Tr} , \nu_E}}$$

왜냐하면

$$\because V= \chi_\nu^2 = \dfrac{\left(\nu_1 S_1^2 + \nu_2 S_2^2 \right)}{\sigma^2} \sim \dfrac{\nu S_p^2}{\sigma^2}$$

왜냐하면

$$\because S_p^2 \equiv \dfrac{\left(\nu_1 S_1^2+\nu_2 S_2^2\right)}{\nu}$$