$t$검정은 집단의 모분산이나 모표준편차를 알지 못할 때, 표본으로부터 측정된 표본분산이나 표본표준편차를 이용하여 두 집단의 모평균의 차이를 알아보는 검정 방법입니다. $t$검정은 “두 집단간 모평균 차이가 없다”는 영가설(null hypothesis)과 “두 집단의 모평균에는 차이가 있다”라는 대립가설(alternative hypothesis) 중 하나를 채택하고, 다른 하나는 기각하는 방식으로 이뤄집니다.

독립표본 $t$검정(Independent samples $t$-test)은 서로 독립적인 두 개의 집단 간의 평균 비교입니다. 표본이 독립이라는 말은 표본이 다음과 같은 조건에서 추출되었다는 것을 의미합니다.

1) 두 개의 표본이 서로 독립적인 집단에서 추출되었다. 따라서 표본 간에는 어떠한 관계도 없다.
2) 표본평균은 중심극한정리에 따라 정규성을 가진다. 즉, 표본을 추출할 때 임의로 추출하였다.

한편, 일반적으로 두 모평균에 대한 가설검정은 대립가설의 형태에 따라 다음의 세 가지로 나눌 수 있습니다. $D_{0}$는 모평균 차이값입니다.

1) $H_{0}\colon\mu_{X_2}-\mu_{X_1}=D_{0}$ ,    ${H}_{1}\colon{\mathit{\mu}}_{X_2}{-}{\mathit{\mu}}_{X_1}{>}{D}_{0}$

2) $H_{0}\colon\mu_{X_2}-\mu_{X_1}=D_{0}$ ,    ${H}_{1}\colon{\mathit{\mu}}_{X_2}{-}{\mathit{\mu}}_{X_1}{<}{D}_{0}$

3) $H_{0}\colon\mu_{X_2}-\mu_{X_1}=D_{0}$ ,    ${H}_{1}\colon{\mathit{\mu}}_{X_2}{-}{\mathit{\mu}}_{X_1}\ne{D}_{0}$

두 집단의 확률변수의 차이를 새로운 확률변수로 생성하고 그 확률변수를 $D$로 표시하면 다음식이 성립합니다.

$$D = X_2 – {\bar {X}_1}$  or  $D = X_1 – {\bar {X}_2}$$

여기서,  $X_1$과 $X_2$는 두 집단의 확률변수

$\bar {X}_1$과 $\bar {X}_2$는 두 표본평균

두 표본평균의 차이를 다음과 같이 정의합니다. 표본평균의 차이는 양수와 음수를 가질 수 있으며 확률변수입니다.

$$\bar D={\bar X}_2 – {\bar X}_1$$

모든 가능한 표본평균의 차이는 표본이 충분히 클 경우, 정규분포를 따르고 기대값은 다음과 같습니다.

$${\rm E}[\bar D] = \mu_{\bar D}  = {\rm \mu}_{\bar {X_2}}-{\rm \mu}_{\bar {X_1}} ∼ {\rm \mu}_{X_2}-{\rm \mu}_{X_1}$$

새로운 확률변수($D$)의 기대값(모평균)은 다음과 같습니다.

$${\rm E}[D]=\mu_D={\rm \mu}_{X_2}-{\rm \mu}_{X_1} ∼{\rm \mu}_{\bar {X_2}}-{\rm \mu}_{\bar {X_1}}$$

독립적인 두 집단에서  각각 표본을 추출하였을 때  두 집단의 모평균차이의 점추정량은 두 표본평균의 차이입니다.

$$\mu_{X_2}-\mu_{X_1} ~{\bar X}_2-{\bar X}_1$$

여기서,  ~는 점추정

새로운 확률변수($D$)의 표본평균($\bar D$)의 분산, 즉, 표본평균 표집의 모분산인  ${\rm Var}[\bar D]$은 다음과 같습니다.

$${\rm Var}[\bar D]={\rm Var}[{\bar X}_2-{\bar X}_1]=\sigma_{{\bar X}_1}^2 + \sigma_{{\bar X}_2}^2 – 2{\rm Cov}({\bar X}_2, {\bar X}_1)$$

두 표본이 독립적이면 공분산항은 0이 됩니다.

$${\rm Cov}({\bar X}_2, {\bar X}_1)={\rm E}\left[(\bar {X}_2-\mu_{X_2})(\bar {X}_1-\mu_{X_1})\right]=0$$

따라서, 새로운 확률변수$D$의 표본평균($\bar D$) 표집의 분산($\sigma_{\bar D}^2$)은 다음과 같습니다.

$$\sigma_{\bar D}^2 = \sigma_{{\bar X}_1}^2 + \sigma_{{\bar X}_2}^2 = \dfrac{\sigma_{X_1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{X_2}^2}{n_2}$$
$${\rm Var}[\bar D]= \dfrac{\sigma_{X_1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{X_2}^2}{n_2}$$

여기서, ${\rm \sigma}_{X_1}^2$과  ${\sigma}_{X_2}^2$은 두 집단의 모분산

따라서, 새로운 확률변수($D$)의 표본평균($\bar D$) 표집의 표준편차는 다음과 같습니다.

$$\sigma_{\bar D}= \sqrt{\dfrac{\sigma_{X_1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{X_2}^2}{n_2}}$$

여기서, ${\rm \sigma}_{X_1}^2$과  ${\sigma}_{X_2}^2$은 두 집단의 모분산

독립표본 $t$검정은 다음과 같이 두 집단의 모분산의 같고 다름에 따라 두 가지가 있습니다. 그리고 두 가지 모두, 평균으로 검정하는 모수적 검정(parametric test)입니다.

1) 스튜던트 $t$검정(Student’s t-test): 두 집단의 모분산을 동일하다고 추정할 때(등분산, equal variance)
2) 웰치 $t$검정(Welch’s t-test): 두 집단 의 모분산이 동일하지 않다고 추정할 때(unequal variance)