대응된 확률변수($X$)의 차이로 생성된 새로운 확률변수입니다.
$$D = X_2 – X_1 $$
$$d_{i} =x_{i}^{after} – x_{i}^{before} $$

집단1($x_{i1}$)과 집단2($x_{i2}$)에서 쌍(pair)을 맺어 대응비교를 합니다.
$$x_{11} ↔ x_{12}$$
$$x_{21} ↔ x_{22}$$
$$\cdot$$
$$\cdot$$
$$\cdot$$
$$x_{n1} ↔ x_{n2}$$

다음과 같이 $n$쌍(pair)의 편차($x_{i2}-x_{i1}=d_{i}$)가 새로운 확률변수($D$)가 됩니다.
$$d_{1}=x_{12}-x_{11}$$
$$d_{2}=x_{22}-x_{21}$$
$$\cdot$$
$$\cdot$$
$$\cdot$$
$$d_{n}=x_{n2}-x_{n1}$$

두 집단이 원소별로 대응되었으므로 새로운 확률변수의 표본의 원소는 아래와 같이 표시할 수 있습니다.
$$d_i = x_{i2} – x_{i1}$$

여기서,  $i$는 양의 정수

새로운 확률변수($D$)의 평균($\mu_D$)을 다음식으로 표현할 수 있습니다.
$$\mu_{D} = \mu_{X_2} – \mu_{X_1}$$

여기서,  $\mu_{X_1}$, $\mu_{X_2}$는 두 집단의 모평균

$D$의 모분산은 다음식으로 표현할 수 있고 표본을 관측하여 추정합니다.
$$\sigma_D^2=\mathrm  Var[D]=\mathrm Var[{d_i}]$$

$D$의 모표준편차는 모분산의 제곱근입니다.
$$\sigma_D=\sqrt{\mathrm  Var[D]}=\sqrt{\mathrm Var[{d_i}]}$$

대응된 표본에서 두 모평균 차이$(\mu_{X_2} – \mu_{X_1})$에 대한 추론을 할 수 있습니다. 그러나 각 표본이 서로 독립이 아니므로 대응표본에서는 한 쌍을 이루는 두 관측값의 차이를 중심으로 분석합니다. 즉 원래 데이터 대신 차이값인 $D_1, D_2, \cdots, D_n$을 하나의 모집단에서 추출한 단일 랜덤표본으로 간주하여 분석을 하는 것입니다. 이 점이 독립표본에 대한 추론과 근본적으로 다른 개념입니다.

새로운 확률변수인 대응표본평균($\bar D$)
$$\bar D = {\bar X}_2 – {\bar X}_1$$

여기서,  $\bar X_1$, $\bar X_2$는 두 집단의 표본평균

대응표본평균($\bar D$ or $\bar {d_i}$)은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$\overline {d_i}= \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n {d_i}}{n}$$

여기서,  $n$은 표본크기

이 새로운 확률변수($\bar D$)의 기대값은 두 집단의 모평균의 차이와 같습니다.
$$\mathrm E[\bar D] = \mu_{D} = \mu_{X_2} – \mu_{X_1} ≈  \bar X_2 – \bar X_1$$

여기서,  ≈ 는 점추정(point estimation)

$\mu_{D}$ 는 두 집단의 대응된 원소의 차이로 생성된 새로운 확률변수의 모평균

$\mu_{X_1}$, $\mu_{X_2}$는 두 집단의 모평균

$\bar X_1$, $\bar X_2$는 두 집단의 표본평균

대응표본평균 표집의 분산은 새로운 확률변수의 모분산을 표본크기로 나눈 것입니다.
$${\rm Var}[\bar {D}] = {\rm Var}[\overline {d_i}] =   \dfrac{\sigma_{D}^2}{n}$$

여기서,  $\sigma_{D}^2$ 새로운 확률변수의 모분산

집단의 변화 전, 후로부터 유도된 새로운 확률변수($D$)의  표본평균($\bar D$) 표집의 분산, ${\rm Var}[\bar {D}]$은 다음식으로 표현됩니다.
$${\rm Var}[\bar {D}] ={\rm Var}[\overline {d_i}] = \sigma_{\bar D}^2= \dfrac{\sigma_{D}^2}{n}≈ \dfrac{S_{D}^2}{n}$$

여기서,  ≈은 점추정

$n$은 표본크기

대응표본평균 표집의 표준편차는 대응표본평균 표집의 분산의 제곱근입니다.
$$\sigma_{\bar D}= \dfrac{\sigma_{D}}{\sqrt{n}}≈\dfrac{S_{D}}{\sqrt{n}}$$

새로운 확률변수의 모분산(${\sigma_{D}}^2$)은 알 수 없지만 모분산의 점추정량인 대응표본분산(${S_D}^2$)은 다음식을 이용하여 구할 수 있습니다.
$$S_{D}^2 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (d_i-\overline {d_i})^2}{n-1}$$

여기서,  $(n-1)$은 대응표본의 자유도

대응표본표준편차(${S_D}$)는 대응표본분산의 제곱근입니다.
$$S_{D} = \sqrt{ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (d_i-\overline {d_i})^2}{n-1}}$$

여기서,  $(n-1)$은 대응표본의 자유도